不少哲學家認為數是抽象的存在物（abstract entities），它們客觀地存在，卻不存在於時空中，就算宇宙裏所有 numerals 都給毀滅了，就算物質世界不再存在，數和它們之間的各種關係仍然存在。
我對「抽象的存在物」這個概念一向感到十分疑惑 --- 這些抽象的東西是以怎樣的方式存在？存在於哪裏？最近對這些問題多想了一點，和同事閒談間得知 Reuben Hersh 著的 What Is Mathematics, Really? 力圖論證數學乃人類思想、社會、和文化的產物，數和它們之間的關係不是被人類發現的，而是人類的發明。
這個觀點對我相當有吸引力，我立刻訂購了該書，早兩天收到了，昨天跟 Mark Balaguer 談起，他卻說這本書雖然有趣，但裏面的哲學論證並不嚴謹，有很多疏漏之處（他用的形容詞是 “gappy”），因為 Hersh 是個數學家，哲學訓練不強。Mark 是數學哲學的專家，他這麼一說，我對 Hersh 便這本書便多少有點介心了。
今早隨意翻閱這本書，看到以下兩句，覺得實在太離譜了，表現出這個數學家對哲學很不尊重，連基本的資料也懶得查證，信口雌黃：
“It wouldn’t be too wrong
to say philosophy of science in the twentieth century is mostly Bertrand
Russell. Two other leading thinkers --- Frege and Wittgenstein --- are both
Russell proteges.” (p.150) [「說二十世紀的科學哲學主要是羅素一人而已，亦不為過。其他兩個思想家中的翹楚 --- 弗雷格和維根斯坦 --- 都是羅素的入室弟子。」]
稍為讀過二十世紀科學哲學的人，都知道羅素在科學哲學無甚創見，要數重要的科學哲學家，他恐怕榜上無名，更遑論「一人而已」。維根斯坦可算是羅素的弟子，但弗雷格卻是羅素的老前輩呀，這一點，連我的學生（主修哲學的）也全知道，Hersh 竟然搞錯了，不是太過份了嗎？
需知 數學是 文科 ART
回覆刪除不是理科 science！
噢！我是由 Catherine 處 游過來的！
What category you put math in there isn't that important. But I don't see that many people will consider that math is 文科. I've heard some mathematician or math major say that math is the blood of science. But I haven't heard that math is the blood of arts. Anyway, if you are a math major in the US, you probably want to get a BS in math rather than a BA in math. A BS in math is usually harder to get than a BA in math.
刪除In general, science people do math better than arts people, so they can do something (an entire field, subject, or major) in arts, using your categorization, than arts people. What a shame! --zpdrmn
the inner space,
刪除//噢！我是由 Catherine 處 游過來的！//
- 哪個 Catherine？
OUP 的reviewers同編輯們做什麼的？
回覆刪除Good question.
刪除Hersh雖然記錯了歷史，但應該與數是什麼沒有太大關係?
回覆刪除numbers，numerals 中文可否譯為數目和數字？
有人認為，數目是客觀存在的粒子，核子物理學家認為物質世界是由粒子構成的，物理學家用抽象的數字去研究物質粒子，通過抽象的數字運算，核子物理學家可以預測物質的粒子數目。
所以，他們認為粒子數目是一個物質的存在，而數字才是抽象的，才是人發明的。
不知王Sir看法如何？
//數目是客觀存在的粒子//
刪除- 我不明白這是甚麼意思。
「數目是客觀存在的粒子」可能的意思是：
刪除由於物質是由分子(molecule)組成，而分子又由原子(atom)組成，原子又由更小的粒子組成，
因此可以說，物質是由是由粒子組成的。
------------------------
那世界萬物是不是由萬種不同的粒子所組成？
不是。
從已發現的元素週期表（periodic table of elements）表明，世界萬物只是由一百多種不同的原子所組成。
而這一百多種不同的原子，則是由幾十種更小的粒子--被稱為基本粒子（elementary particle）所組成。
組成世界萬物的基本粒子據說只有62種，而已經發現了61種，只剩下一粒（種），據說也即將被發現，那就是著名的「上帝粒子」-- Higgs boson，它被稱為是「萬物之源」。
若果真是有「萬物之源」的粒子（據說已非常接近被證實有），而這種粒子的有或無，即等同物質的有或無；
而這種粒子的多或少（數目），則影響著構成什麼樣的物質；
由於萬物取決於這一種粒子，其數目number of Higgs boson 就不是abstract entity，而是可以說「數目（number)就是客觀存在的粒子」。
不知這種說法是否合理？
上面說的是微觀世界，如果回复到宏觀世界，
刪除通常說的：
number of people
number of cars
number of buildings
number of cities
.....等等
這裡的"number of ..."就是「有些人，有些車，有些建築物，有些城市....」等等，都是有存在的實體，亦就是number就是「有存在的實體」，
而1234....才是數字“numeral”，才是人發明出來的，用來計算存在物的符號。
還是不明白（但你不必再花時間解釋了）。
刪除Steven E. Landsburg的The Big Questions，同樣也是外行人寫哲學，但結論則反過來，作者認為世界萬物的本質是數學。
回覆刪除//世界萬物的本質是數學//
刪除- 也不明白這是甚麼意思。
其實本書出版時有沒有經過類似期刊的peer review？這個錯誤實在太明了，一般哲學家都很容易指出
回覆刪除應有 peer review，那是標準的程序，尤其是 OUP 這樣有地位的出版社。
刪除我不相信「抽象的存在物」．
回覆刪除如果人類不存在，物質仍舊存在，但抽象的東西就不存在．
可否用「我思故我在」來解釋呢？
//如果人類不存在，物質仍舊存在，但抽象的東西就不存在．//
刪除- 何解？
//可否用「我思故我在」來解釋呢？//
- 你怎樣理解「我思故我在」？
其他動物或者外星智慧體,也可以繼續思考著那些抽象東西。不一定因為人消失了,它們也就突然失效。
刪除另外,「我思故我在」本身無用o架,要chok個上帝無限智心出來才可以保障其他所有存在物的客觀性。
Be careful. When we talk about numbers, what kind of numbers are we talking about? Just positive integers? Non-negative integers? All integers? Rational numbers? Real numbers? Complex numbers?
回覆刪除It is related to discrete (like integers) and continuous (like real numbers) cases in math.
It is also related to duality in quantum physics, or quantum vs continuum.
It is also related to space-time interval (the imaginary number i is usually used there) in Relativity.
Now, let's think about this question: is space-time quantized or continuous?
That's how I see numbers.
Of course philosophers can think that 數是抽象的. But it won't help me much.
Did I mention fuzzy numbers?
--zpdrmn
It doesn't matter what kinds of numbers we are talking about; the question "What are numbers?" is still there.
刪除Physics may need the language of mathematics, but this doesn't make numbers physical.
Let me say this first.
刪除I have problems with //就算物質世界不再存在，數和它們之間的各種關係仍然存在// How could one know about that? 物質世界不再存在. How? It's the end of the universe? Is it that no materials (matter) are there in the universe? All the matter converts into energy? We have all EM waves? Are EM waves in duality, only quantized, only continuous? (More about it later.)
How people know about numbers have a lot to do with how they see the physical world. What kind of physical universe we are in may have a lot to do with how we invent and see numbers, different kinds of numbers.
Let's say, in another universe (since we can talk about abstract things, I will use another universe) the physics is different from ours. The living things there have a different number system. It is a different kind of abstractness. Their 數和它們之間的各種關係 are different from ours. We don't know about their numbers. Can we really discuss what numbers are??
-zpdrmn
Of course numbers themselves aren't physical. I just say that whatever ways one describes their abstractness (without using some mathematics language) don't help me.
刪除One can, of course, forget about the physical world and physics and look at the abstractness of numbers itself. Why not? But other people may approach numbers differently.
Math only: What about i, the square root of -1? Before it is "invented," people didn't even know about it, let alone thought it as a number. What KINDS of numbers we are talking about, I think, is relevant in asking what numbers are, even though the question is still there no matter what kinds of numbers we are talking about.
Is i more abstract than real numbers? (Well, it is called an imaginary number.) No one would even ask this Q before i.
What are numbers?
I would first try to figure out what may be useful to answer this question or what is more meaningful(??), only to deal with it in an abstract way or to attach some physics to it.
It seems simple enough. We are dealing with numbers, forget physics. But then some physicists are looking at that if the physical world is basically quantized or (XOR) continuous. (No duality, just one.) If there can only be one, what does that say about numbers? One kind is more abstract than another? For example, rational numbers are more (or less) abstract than non-rational real numbers? If there can be both but one at a time, what does that mean? If there can be both at the same time, what does that mean? These Qs may not answer the big question "what are numbers." They may help.
Some physicist are working on what it was like before the Big Bang. The knowledge about it may shed lights on the quantized/continuous question and in turn on the question "what are numbers." Of course, mathematicians and philosophers may think that such approach is pointless.
I think that we don't see the question "what numbers are" the same way. --zpdrmn
i can be regarded as the root of the polynomial x^2 + 1 = 0
刪除For a real number c, it is a root of the polynomial x - c = 0.
In this sense, neither of them is more abstrat than the other. They are roots of certain polynomials. Indeed, they are called algebraic numbers.
People know how to work with the imaginary number for a long long time. It should be at least a few hundred years.
Complex number can be constructed from real numbers by the Cayley–Dickson construction. In this sense, a complex number is just an ordered pair of real numbers which satisfies certain rules of operations. I don't think you will consider something like (1,2), (21,5),(-2,134) ... very abstract.
A number is said to be rational if it can be written as p/q where q is non-zero. A number is irrational if it cannot be written in such way. So, you cannot find something which is both rational and irrational.
Any number(rational / irrational) can be written as the limit of a sequence of rational numbers. In this sense, there is no difference between rational numbers and irrational numbers.
However, there are more "irrational numbers" than "rational numbers" in the world.
Trying to make my question last time clearer: If our physical world is basically (only) discrete, like discrete fractions, would the irrational numbers between two "consecutive" fractions without another in between (continuous irrational numbers) be more abstract than fractions, because they don't really correspond to the physical world but just are a construct invented by us, maybe because of our misunderstanding of our physical world?
刪除Matt,
I hope the way I rewrite the question above is easier to understand.
About numbers: I have something else than yours in mind. I don't talk about pure math much.
I am thinking about (ds)^2=(dx)^2+(dy)^2+(dz)^2+(idt)^2.
After Einstein's discovery, is i considered less or more abstract than before?
In another universe, the space-time interval can be very different. We can't be sure if i is in the corresponding equation there. We can't even be sure if i*i=-1 there.
Someone just talked about the surface area of a sphere a few days ago somewhere here.
A=4*Pi*r*r. We can also talk about the volume. We don't have Pi*Pi for the surface area and Pi*Pi*Pi for the volume.
But in another universe, where the physics is different, it can be something like that, or something else. The sphere there may be very different from ours. The value of Pi can be different too.
We just don't know much about the physics and numbers there.
People know about relativity and QM for about a 100 years, but we still don't know much about the universe, let alone another universe.
How the physics in a (not necessarily be our) physical world is related to the numbers in that world? I would like to know. That may help us understand the abstractness of numbers.
--zpdrmn
Natural numbers 是可以用 sets 去定義，有了 Natural number ，我們就可以構造 integers, rational numbers, real numbers, complex numbers ....
回覆刪除數學的基礎是邏輯公理，而公理是基於人的直觀。如果邏輯公理和集合論是 "abstract entities"，那麼 numbers 也應該是 "abstract entities"。
歐幾里德第五公設的故事告訴我們：人的直觀並不一定能對世界作出最合適的描述。
Zorn's lemma/ axiom of choice 雖然古怪，但是大家拿來用就算。放棄 Zorn's lemma 或者會令許多定理出現問題，例如：existence of algebraic closure。200 多年前，Gauss 已經證明了 Fundamental Theorem of Algebra，algebraic closure 是這個定理的延伸。簡單地說，任何 polynomial 都有一個 root。它存在，但這並不意味著你可以明確地把它寫出來。
Riemannian geometry 仿佛是憑空作出來，無甚用處。但是，多年後，愛因斯坦把它應用在廣義相對論上。類似的例子有好多，或許，數學真的是 abstract entity 吧！
//或許，數學真的是 abstract entity //
刪除- 最好不是啦。
為甚麼呢？你打算寫學術論文指出數學不是 abstract entity？
刪除在 American Mathematical Society 的書評:
What is Mathematics, Really?
A Book Review
Reviewed by Ed Dubinsky
http://www.ams.org/notices/199909/rev-dubinsky.pdf
因為 abstract entities 太神秘，而且難以納入 naturalism （我的基本哲學立場）。
刪除數和它們之間的關係不是被人類發現的，而是人類的發明。//
回覆刪除同意這一句 ^^
就算物質世界不再存在，數和它們之間的各種關係仍然存在。 //
這個"存在"不同平時所說的"存在".物質不存在,如果說數還存在,
但這情況下我們都不知如果理解這個數和其他物質的關係了~~
//數和它們之間的關係不是被人類發現的，而是人類的發明。//
刪除- 假如上帝存在，而人類是祂創造的，那麼，在祂創造人類之前，上帝是否不知道任何數學真理？
//- 假如上帝存在，而人類是祂創造的，那麼，在祂創造人類之前，上帝是否不知道任何數學真理？//
刪除即是說，未造人類之前，沒有所謂三位一體，既無三，亦無一？
//假如上帝存在，而人類是祂創造的，那麼，在祂創造人類之前，上帝是否不知道任何數學真理？//
刪除我不同意
即使上帝創造人類前
「了解」過蒙羅麗莎
也不能說 蒙羅妮莎不是達文西創作出來的
你的例子涉及其他哲學問題（例如 divine foreknowledge 和 fatalism），很難簡單說清楚；不過，至少有些哲學家認為在達文西創作蒙羅麗莎之前，上帝對這幅畫是沒有認識的。
刪除即使上帝在創造人類前已知道有關蒙羅麗莎這幅畫的一切，這些知識有時間性，而祂所知的數學則沒有時間性。此外，上帝關於蒙羅麗莎的知識並不是 --- 而祂的數學知識則是 --- true of 上帝；例如三位一體的三。
God!! Assuming God doesn't exist, should we look at what it was like before the Big Bang (or whatever it was if it wasn't the Big Bang)? Should we look at the physics then? It may shed some light on our understanding of numbers. --zpdrmn
刪除//不過，至少有些哲學家認為在達文西創作蒙羅麗莎之前，上帝對這幅畫是沒有認識的。//
刪除為何不認識?上帝不是能預知未來嗎?預知彼得三次不認主，不是出現在聖經中嗎?既然如此，衪應該也能了解蒙羅麗莎。
假設:我所指的上帝是基督教中的神。
//這些知識有時間性，而祂所知的數學則沒有時間性。//
時間性="某時間內，眾人能得知該事物。在該時間範圍以外，人人會淡忘，什至忘記。"??
//此外，上帝關於蒙羅麗莎的知識並不是 --- 而祂的數學知識則是 --- true of 上帝//
什麼是true of 上帝??
TioM,
刪除//為何不認識?上帝不是能預知未來嗎?預知彼得三次不認主，不是出現在聖經中嗎?既然如此，衪應該也能了解蒙羅麗莎。
假設:我所指的上帝是基督教中的神。//
- 有些哲學家認為 the future is open，即是關於未來的命題沒有真假可言，例如在 Dec 5, 2012, "It rains in Hong Kong on Dec 6, 2012" 既非真也非假，要到 Dec 6, 2012 過後才是真或是假。真的命題才可以被知，因此，假如 the future is open，就算是上帝也不能預知未來（這當然不是一般信徒的看法）。
//時間性="某時間內，眾人能得知該事物。在該時間範圍以外，人人會淡忘，什至忘記。"??//
- 我指的是這些知識的內容涉及時間（雖然我們在日常對話不一定會點出時間性），例如「蒙羅麗莎是達文西的作品」裏的「蒙羅麗莎」是指達文西在某一時間開始創作和某一時間完成的那幅畫。
//什麼是true of 上帝??//
- 不知該怎樣中譯，讓我用例子說明吧：假如你身高 1.6 米，那麼「身高 1.6 米」就是 true of 你了。假如聖父、聖子、聖靈是三位，那麼 "1+1+1=3" 就是 true of 上帝了。
記得第五世紀有個神哲學家講過,數字用來描述有限物時可以相加, "1個蘋果+1個蘋果+1個蘋果=3個蘋果",但用於無限物或上帝時,則不能作同樣處理。因為,數字起著限定作用,但上帝並不受任何限制。
刪除W Wong,
刪除我大概明白你的立場了。
你認為人類只是發明了表達數的工具–數字
早在數字發明前，上帝已經了解數。
但是，上帝了解數，皆因祂思考三位一體的三，還是
預見人類使用數字?
//有些哲學家認為 the future is open，即是關於未來的命題沒有真假可言，例如在 Dec 5, 2012, "It rains in Hong Kong on Dec 6, 2012" 既非真也非假，要到 Dec 6, 2012 過後才是真或是假。真的命題才可以被知，因此，假如 the future is open，就算是上帝也不能預知未來（這當然不是一般信徒的看法）。//
即使常人在指定日期前不能判斷「預言」真假，也不能證明該人沒有預言能力。
例如﹕12月21日，世界末日。 即使我們不能判斷其真假，但是回顧瑪亞族人的「戰績」﹕汽車、飛機的生產日期，及西特勒的死亡日期。我們就不得不認為，瑪亞族人不多不少也有預言能力，也不得不正視該預言。
我反而有興趣知道我們對數有兩種截然不同看法(唯名與唯實?)的原因， 為什麼我們對這兩種看法有很強烈的直覺？與語法及意義有沒有關係？
回覆刪除這不只是直覺的問題，還涉及基本的哲學立場，例如 materialists 和 physicalists 就難以接受有 abstract entities。
刪除但這樣問可能更有趣，如果有一說法可說明為何我們對兩者有很強的直覺，那麼可能這些基本立場便無立足之地。例如，如果我們可以說明要使用數字就先肯定數的存在；我們對數的實在的直覺的來源是從我們改使用數字的經驗而來，那麼數的實在論便是對並且錯的，對的地方在於它對數字作了個邏輯的判斷，它是錯的在於作為形上判斷，數的實在論無從說起。同理，數的非實在論是錯並且對的。
刪除唔明。
刪除Williamson 提到 Dummett 的 "Boche"這例子，Dummett 說要理解 "boche" 就要接受 x is a German |- x is crude 這推論。如果接受這看法，那麼如果我們理解 "boche"，那麼 German is crude 就邏輯地真。如果 Dummett 說是對的，那麼有 boche 這概念的人，就有很強的直覺認為 "German is crude" 是真的，沒有這概念的就不必會認同這直覺。
刪除我的問題是，如果對於數有類似的說明，例如，如果可以論證到，要理解或使用數字，就要接受數的存在，那麼，便可以理解為什麼數的實在論的直覺那麼強 (因為我們理解／使用數字），又可說明為什麼數的非實在論的直覺那強 (因為, 例如，我們用唯物主義的觀點看世界，在那裡沒有數）
如果以上說的是真，數的實在論／非實在論的討論便很無謂，真正的問題，可能只是我們是否理解／使用數學而已。
Ok，大致明白你的意思了。
刪除我對所謂數學一直存在一個問題
回覆刪除當你話呢處有三個蘋果﹐點界定呢個三個係蘋果先﹖
蘋果A﹑蘋果B同蘋果C﹐明明每個都係獨一無二
蘋果A無可能絕對等於蘋果B
依此推論﹐蘋果A+蘋果B+蘋果C﹐又點解會等於三個蘋果﹖
呢個講法﹐咪即係話a+b+c等於3a﹑3b或者3c﹖
你冇嘢嘛？A, B, C 是名子；a, b, c 是變項。
刪除文少,
刪除//蘋果A無可能絕對等於蘋果B//
- 你混淆了 "equal" 和 "identical with"。
//蘋果A+蘋果B+蘋果C﹐又點解會等於三個蘋果﹖//
- 蘋果A 是一個蘋果，蘋果B 是一個蘋果，蘋果C 是一個蘋果；一個蘋果加一個蘋果加一個蘋果等於三個蘋果。
Yan﹕
刪除你又講乜鬼呀﹖
A﹑B﹑C同a﹑b﹑c﹐只係大細階的分別
無啦啦又點會係咩名字同變項呀﹖
W.Wong:
刪除我個問題正正係1+1+1之間的1﹐難道不是應該是必須相同嘛﹖
如是者﹐所謂三個蘋果(3a)﹐即是三個絕對一樣的蘋果(都是a)﹐中間並無任何差異﹐才構成a+a+a=3a的情況。
然而﹐事實上蘋果A≠蘋果B≠蘋果C﹐中間是有任何差異﹐哪可蘋果A+蘋果B+蘋果C﹐視作a+a+a=3a﹖
hence, "comparing apples to apples."
刪除-49er
文少,
刪除"1+1+1=3" 是數學；"1個蘋果+1個蘋果+1個蘋果=3個蘋果" 是將數學應用到物理世界。數學不會告訴我們甚麼是蘋果，但當我們知道怎樣才算是一個蘋果，便可以將 "1+1+1=3" 應用在蘋果上。
一件東西要符合某些條件才是蘋果，假如有兩件東西都符合「蘋果」的條件，那麼它們便都是蘋果，但這不表示它們在各方面都完全一樣 --- 它們可以有分別，只要那些分別不影響它們符合「蘋果」的條件（例如大小不同、產地有別、味道有異），它們便都是蘋果。
文少,
刪除//Yan﹕
你又講乜鬼呀﹖
A﹑B﹑C同a﹑b﹑c﹐只係大細階的分別
無啦啦又點會係咩名字同變項呀﹖//
- Yan 指的是邏輯裏 individual constants 和 individual variables 的分別。
1個人+1個人+1個人=3個人
刪除文少可能要求3個人都必須是女人，都要一樣年輕貌美，否則就不能夠叫做3個人！ :D
W.Wong;
刪除我的意思是1+1+1=3這條數式中﹐每個「1」都是指絕對相同的事物
但應用到物理世界時﹐「1個蘋果+1個蘋果+1個蘋果=3個蘋果」﹐查實每「1個蘋果」並不是指絕對相同的蘋果。
又因此﹐在物理世界中﹐我們所說的「1個蘋果+1個蘋果+1個蘋果」﹐查實只是在說「蘋果A+蘋果B+蘋果C」。
而依你之言﹐「蘋果」便是一個廣義化概念﹐所謂「3個蘋果」是指「3個廣義上相同的蘋果」﹐而不是「3個實際上相同的蘋果」。
又或者我可以這樣說﹐日常我們說的「3個蘋果」是一個簡略說法﹐查實這句隱含著「3個(不同的)蘋果」的意思。
對否﹖
文少,
刪除It is better to talk about subtraction.
We have a piece of cake on a table. 文少 cuts and eats a piece of cake from it and leaves a piece of cake on the table. 1-1=1. But 1-1=0 too.
點界定呢個係 cake 先? 點界定文少 has eaten a piece of cake 先﹖ Now, 文少 goes to a bakery and cuts a piece from a cake and eats it, does he need to pay for it? --zpdrmn
文少,
刪除//我的意思是1+1+1=3這條數式中﹐每個「1」都是指絕對相同的事物//
- 「1」只是一個數，不指任何事物。
//而依你之言﹐「蘋果」便是一個廣義化概念﹐所謂「3個蘋果」是指「3個廣義上相同的蘋果」﹐而不是「3個實際上相同的蘋果」。//
- 「三個蘋果」是一回事，「三個相同的蘋果」是另一回事，蘋果不須要「絕對相同」才可以相加。試比較：
1個生果+1個生果+1個生果=3個生果
假如第一個是蘋果，第二個是梨，第三個是橙，它們便顯然不是「絕對相同」，你會不會也認為上面的算式有問題？
//又或者我可以這樣說﹐日常我們說的「3個蘋果」是一個簡略說法﹐查實這句隱含著「3個(不同的)蘋果」的意思。//
- 可以不同，也可以相同，只要是三個蘋果便成了。
Wong,
刪除//1個生果+1個生果+1個生果=3個生果//
That's reminds me of 1個蘋果+1個梨+1個波羅=3個生果. --zpdrmn
Yes, and 1 anything+ 1 anything + 1 anything = 3 things.
刪除W.Wong:
刪除//我的意思是1+1+1=3這條數式中﹐每個「1」都是指絕對相同的事物//
//「1」只是一個數，不指任何事物。//
我說的意思是﹐在1+1+1=3這條數式中﹐難道不是第一個「1」≡第二個「1」≡第三個「1」﹖
但是在「1個蘋果+1個蘋果+1個蘋果=3個蘋果」中﹐第一個「1個蘋果」≠第二個「1個蘋果」≠第三個「1個蘋果」
//「三個蘋果」是一回事，「三個相同的蘋果」是另一回事，蘋果不須要「絕對相同」才可以相加。試比較//
如果說「蘋果」不須要「絕對相同」才可相加﹐那裡的「蘋果」便是一個廣義化概念﹐實際上是指「地球上任何一個蘋果」。
否則用神州的例子﹐如果「人」的定義不是指「地球上任何一個人」﹐你≠我﹐「你＋我＋他」又何來可以當作「1+1+1」﹖
//1個生果+1個生果+1個生果=3個生果
假如第一個是蘋果，第二個是梨，第三個是橙，它們便顯然不是「絕對相同」，你會不會也認為上面的算式有問題？//
同理﹐因為「生果」是一個廣義化概念﹐1個蘋果＋1個梨＋1個橙＝3個生果
但1個蘋果≠1個梨≠1個橙﹐所以「3個生果」實際上應被理解成「3個不同的生果」。
即是說﹐我們不引用一些廣義化概念的話﹐「三個蘋果」這說法根本不能被理解。
//又或者我可以這樣說﹐日常我們說的「3個蘋果」是一個簡略說法﹐查實這句隱含著「3個(不同的)蘋果」的意思。//
//可以不同，也可以相同，只要是三個蘋果便成了。//
我問題的重點是﹐這個蘋果≠那個蘋果﹐「這個蘋果」和「那個蘋果」都是世上獨一無二的﹐又何來相同呢﹖
若將「這個蘋果」＋「那個蘋果」轉換成代數式的話﹐哪有可能是a+a?
zpdrmn﹕
刪除用回你的例子﹐檯上有一件蛋糕(c)﹐我吃了這件蛋糕﹐c-c﹐當然等於0c啦﹖
問題是你說檯上有兩件蛋糕﹐我吃了一件﹐便淨下一件蛋糕。
而事實上﹐所謂的兩件蛋糕查實是指兩件不同的蛋糕﹐分別是「這件蛋糕」(c)和「那件蛋糕」(d)﹐c≠d﹐所以化成代數式是c+d﹐哪有可能當成是c+c或2c或d+d或2d呢﹖
是故﹐我吃了c之後﹐便淨下了d﹐因為c+d-c﹐怎可以寫成2-1=1﹖
我看這還是要看"蘋果"二字的定義吧.
刪除蝮,
刪除//我看這還是要看"蘋果"二字的定義吧.//
- 無論你怎樣界定蘋果，只要「蘋果」是一個類，以下我所說的都為真：
一件東西要符合某些條件才是蘋果，假如有兩件東西都符合「蘋果」的條件，那麼它們便都是蘋果，但這不表示它們在各方面都完全一樣 --- 它們可以有分別，只要那些分別不影響它們符合「蘋果」的條件（例如大小不同、產地有別、味道有異），它們便都是蘋果。
文少,
刪除//但是在「1個蘋果+1個蘋果+1個蘋果=3個蘋果」中﹐第一個「1個蘋果」≠第二個「1個蘋果」≠第三個「1個蘋果」//
- 第一個蘋果是一個蘋果，第二個蘋果也是一個蘋果，它不必和第一個蘋果「絕對相同」才算是一個蘋果（第三個蘋果同理）。既然第一個蘋果是一個蘋果，第二個蘋果是一個蘋果，第三個蘋果是一個蘋果，它們相加就是三個蘋果了。
//如果說「蘋果」不須要「絕對相同」才可相加﹐那裡的「蘋果」便是一個廣義化概念﹐實際上是指「地球上任何一個蘋果」。//
- 不明白「廣義化概念」是甚麼意思，為甚麼只是「地球上任何一個蘋果」？其他星球也可能有蘋果呀！「蘋果」是一個類，個別的蘋果可以有各種分別，但仍然屬於這個類。
//否則用神州的例子﹐如果「人」的定義不是指「地球上任何一個人」﹐你≠我﹐「你＋我＋他」又何來可以當作「1+1+1」﹖//
- 你這一個人＋我這一個人＋他這一個人 = 三個人。「人」是一個類，個別的人可以有各種分別，但仍然屬於這個類。
//同理﹐因為「生果」是一個廣義化概念﹐1個蘋果＋1個梨＋1個橙＝3個生果
但1個蘋果≠1個梨≠1個橙﹐所以「3個生果」實際上應被理解成「3個不同的生果」。//
- 「生果」是一個類，個別的生果可以有各種分別，但仍然屬於這個類。
//我問題的重點是﹐這個蘋果≠那個蘋果﹐「這個蘋果」和「那個蘋果」都是世上獨一無二的﹐又何來相同呢﹖//
- 「相同」可以指同一個 （numerical identity），也可以指性質完全相同 （qualitative identity），我說的是後者，看來你一直說的是前者。
「這個蘋果≠那個蘋果」是說這兩個蘋果不是同一個蘋果，這裏的「≠」（not identical with）有別於「1+4≠6」中的「≠」（not equal）。到頭來，仍是我最初說的那句，你混淆了 "equal" 和 "identical with"。
文少,
刪除oh no. I don't mean that. Let me write it clearer with pictures.
< picture of 文少's mouth.
= picture of a part of a piece of a cake.
/ picture of a knife
On a certain day:
at 12:30pm, there is a piece of cake
======== on a table.
at 12:45pm, 文少 cuts a piece of cake from it ===/
and eats it, <===
and leaves a piece of cake ===== on the table.
1-1=1. But 1-1=0 too.
Again, //點界定呢個係 cake 先? 點界定文少 has eaten a piece of cake 先﹖//
--zpdrmn
See if this make 文少 feel better.
刪除Consider the set A, "100 apples" (100 different apples) 文少 has at certain time on certain day. (I use 100 because I don't want to discuss a set with too many elements. "" indicates that 文少 may not agree that 100 apples is the right way to express it. )
x is an element of A, y is another element of A, z is yet another element of A.
文少 picks "3 apples" from the "100 apples" he has. The "3 apples" happen to be x, y, and z.
{x},{y},{z},{x,y,z} are subsets of the set A. Denote B={x}, C={y}, D={z}, and E={x,y,z}.
B has 1 element, C has 1 element, D has one element, E has 3 elements. n(E)=3=n(B)+n(C)+n(D)=1+1+1. (n means number of.)
In B, there is one apple. In C, there is one apple. In D, there is one apple. In E, there are "3 apples."
E=B U C U D. U means union.
"3 (different) apples"= 1 apple plus 1 (another) apple plus 1 (yet another )apple.
(use plus, because 文少 may not like +.)
Now can we take away the "" and use + instead of plus and forget all those 'different','another' and 'yet another'?)
Otherwise, when we talk we will become very tired very soon.
Consider this:
The union of the set of 1 apple and the set of another 1 apple and the set of yet another 1 apple is the same as the set of 3 apples, each of which is a different element in one of the said sets of 1 apple mentioned above. Very tiring.
Excuse my lack of organization above.
--zpdrmn
W.Wong:
刪除可能寫中文有翻譯差異﹐不過我不認為我混淆些甚麼。
廣義化即是概括化﹐即是generalization﹐而「廣義化概念」即是generalized concept。
我的意思十分簡單﹐這個世界每樣事物都是獨一無二的
以你為例﹐即使你有一個孿生兄弟﹐甚至複製出另一個你﹐他們都不是你
因為組成你的物質≠組成他的物質
是故﹐在這個世界沒有兩個你﹐也沒有兩個(完全一樣)的蘋果。
要將數學應用到物理世界﹐我們必須將世上的所有事物簡化﹐即是廣義化﹐再分門別類。
例如﹕我手上有個日本紅色溫室蘋果﹐廣義化後可稱作日本紅色蘋果﹑日本溫室蘋果﹑紅色溫室蘋果﹑紅色蘋果﹑溫室蘋果﹐乃至蘋果﹐我們再可以將它廣義化而稱作生果
是故﹐廣義化是數學可以應用到物理世界的前提﹐只有透過廣義化﹐才可以進行分類﹐從而達至同類的相加/相減/相乘/相除。
但有一點是肯定的﹐兩個蘋果必然是指兩個(不同的)蘋果﹐這個世界沒有兩個(完全一樣的)蘋果。
//但有一點是肯定的﹐兩個蘋果必然是指兩個(不同的)蘋果﹐這個世界沒有兩個(完全一樣的)蘋果。//
刪除同理，世界上沒有兩個完全一樣的人，
所以：1個人+1個人+1個人=3個人 就唔啱，
點解？因為人有黑白黃...多種人，
1個黑人+1個白人+1個黃人=N個彩色人？
所以話，香港有700萬人是如何得出來的？
唔通香港人個個都完全一樣樣貌？
文少到底出了什麼毛病？
文少,
刪除//是故﹐廣義化是數學可以應用到物理世界的前提﹐只有透過廣義化﹐才可以進行分類﹐從而達至同類的相加/相減/相乘/相除。//
- 只要能將同一個概念應用到不同的項目上，那些項目就可以加減乘除，而「東西」（"thing")）這個概念可以應用到任何項目，因此，任何不同的東西都可以加減乘除。例如：
1個蘋果+1本書+1部汽車=3件東西
//但有一點是肯定的﹐兩個蘋果必然是指兩個(不同的)蘋果﹐這個世界沒有兩個(完全一樣的)蘋果。//
- 這一點沒有人會反對，但那兩個不同的蘋果都是蘋果，相加就是兩個蘋果。
W.Wong:
刪除//只要能將同一個概念應用到不同的項目上，那些項目就可以加減乘除，而「東西」（thing)這個概念可以應用到任何項目，因此，任何不同的東西都可以加減乘除。例如：1個蘋果+1本書+1部汽車=3件東西//
這是因為我們在計算時﹐將1個蘋果﹑1本書﹑1部汽車化為「東西」一個更為廣義化的概念﹐所以所謂的「1個蘋果+1本書+1部汽車=3件東西」﹐查實是在說「1件東西+1件東西+1件東西=3件東西」。
其原理﹐正如「1個人+1隻狗=2隻動物」一樣﹐但過反過來相減的時候﹐我們便無法確知「2隻動物」實際上是兩隻甚麼樣的動物﹐只能寫成﹕「2隻動物-1個人=1隻動物」
btw﹐你仲未答我船長究竟幾多歲…(閃)
zpdrmn:
刪除這不是份數題嘛﹖
你一個蛋糕切了一角出來﹐假如一角等於1/10﹐那桌上便剩下9/10個蛋糕。(10/10-1/10=9/10)
你再將那角蛋糕放在碟上吃了﹐碟上便剩下0件蛋糕。
量詞用對了﹐便沒有這個混淆。
//其原理﹐正如「1個人+1隻狗=2隻動物」一樣﹐但過反過來相減的時候﹐我們便無法確知「2隻動物」實際上是兩隻甚麼樣的動物﹐只能寫成﹕「2隻動物-1個人=1隻動物」//
刪除照此「原理」，可以有：
2只碗+4只碟+2只羹=1套碗碟
2只碗+4只碟+2只羹-1只碗=0套碗碟（不成1套）
1個男人+1個女人=4個人
10只鳥+1塊石頭=0只鳥（鳥都飛走了）
......
這是什麼數學「原理」？:D
神州﹕
刪除你問我談的是甚麼原理﹖
我談的是generalization和specialization﹐算是哲學原理吧﹖
欲知詳細﹐可看以下論文﹕
https://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:oMAlmYqQP64J:citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download%3Fdoi%3D10.1.1.3.7250%26rep%3Drep1%26type%3Dpdf+&hl=en&gl=hk&pid=bl&srcid=ADGEESiHH2eEJOzaad6LTIK34kN_llGJbpgRGtNJGvGSnVLVx1lVsfMcZY5mF3ken3CyGl_SMVw5DtXc7C8T5lL4yfp8cLA6FP7DdcighGw109afvgtgeKyrSv48LfbQsRqKe_2dnkPC&sig=AHIEtbTSjdzASRS-vJtk_vgm9HC4t82FzA
至於你的所謂「以此推論」﹐沒興趣跟你浪費唇舌太多﹐你小心抽水抽著火水﹐便得了。
我無話過你唔係談「哲學原理」播，不過你啲「哲學原理」真係好難明，比你link的那篇大作還要複雜萬倍，而家你仲話問下都會「抽著火水」添，咁嘅「哲學原理」唔知算唔算係「包拗頸型文少哲學原理」呢？:D
刪除文少,
刪除of course it is a problem of fraction, but my point is that in everyday language, people usually don't say that 文少 cuts off and eats 1/10 piece cake and leaves 9/10 piece of cake on the table. If you have problems with 1 apple+ 1 apple + 1 apple= 3 apples, you should also have problems with 'cutting a piece of cake off' and many expressions using everyday language.
BTW, do you have any comments on what I wrote above on 1 apple+ 1 apple + 1 apple= 3 apples, expressed in sets? --zpdrmn
神州﹕
刪除「2隻動物-1個人=1隻動物」原理和「3件東西-1本書=2件東西」一樣﹐有幾難明﹖
btw﹐你憑甚麼從我說的東西中﹐推論出「1個男人+1個女人=4個人」﹖
請解釋。
按照你嘅「廣義化」話法，你唔畀個女人懷有雙胞胎嘅咩？
刪除神州﹕
刪除沒興趣陪你鬼扯
一對雙生兒﹐可以代表「大孖≡細孖」嘛﹖
zpdrmn:
刪除對﹐我們的日常用語會自行將一些概念省略﹐對方能從說話中明白到背後隱含一些廣義化概念。
用回你的例子﹕從一件蛋糕切走一件蛋糕﹐對方會明白你在說「從一件蛋糕切走一(小)件蛋糕」﹐或者是「從一個蛋糕切走一部份蛋糕」之意。
而你之前說到﹕
「The union of the set of 1 apple and the set of another 1 apple and the set of yet another 1 apple is the same as the set of 3 apples, each of which is a different element in one of the said sets of 1 apple mentioned above. Very tiring.」
我同意這樣說會很累人﹐因此平日溝通會將一些(假定對方會明白的)概念簡略﹐而我認為即使要說得比較準確﹐也未必要說得這麼複雜(雖然更複雜還可)
我認為只需說成便可﹕
「蘋果A+蘋果B+蘋果C=3個不一樣的蘋果」
而我一直想強調的是﹐數學要應用到物理世界之上﹐必須先將世上的事物廣義化(generalize)。
事實上﹐「這個蘋果」跟「那個蘋果」實際上有如代數式的「a」和「b」一樣﹐如不加以廣義化﹐這兩個蘋果相加是得不出「2個蘋果」這結果的。
文少，
刪除//沒興趣陪你鬼扯
一對雙生兒﹐可以代表「大孖≡細孖」嘛﹖//
如果照你嘅「廣義化」話法係「鬼扯」，咁即係你啲「廣義化」話法係鬼扯啦:)
你話一對雙生兒係一個人定係兩個人喇？
如果你屋企有父母和一對雙生兒，咁你屋企有幾多個人？
是你理解能力低﹐又要抽我水﹐所以你走去鬼扯
刪除(1)兩個不同的人。
(2)你屋企有父母和一對雙生兒﹐你是那對雙生兒之一嘛﹖
如果是﹕4個不同的人﹐如果不是5個不同的人。
但我反過來問﹐一個家庭有父母和一對雙生兒﹐陳大文是那對雙生兒其中之一﹐哪他是大孖還是細孖﹖
文少,
刪除//我認為只需說成便可﹕「蘋果A+蘋果B+蘋果C=3個不一樣的蘋果」//
That's definitely simpler, but 3個不一樣的蘋果 is problematic, because
蘋果D+蘋果E+蘋果G also =3個不一樣的蘋果. Now we have this 3個不一樣的蘋果 =/= that 3個不一樣的蘋果. We still don't know what 3個不一樣的蘋果 means. --zpdrmn
zpdrmn:
刪除對呀﹐當你純粹提一個廣義化概念出來﹐由於細節部份被簡略了﹐你的指令便不夠清晰
例如﹕你面對有一大堆蘋果之時﹐人家叫你拎走三個蘋果﹐你便很難確定對方要你拎走哪三個蘋果。
這便有如新聞說有五十人在某意外上罹難時﹐你根本不知誰死了一樣。
因此﹐當死人變成了一堆的數字後﹐讀者往往感覺很抽離。
文少，
刪除你唔好一開聲就得罪人話人理解能力低先，你睇下呢度有邊個係認同你嘅睇法先？
你啲理解能力簡直就真係達到恐怖嘅地步，人地淨係問你果個家庭有幾多個人之嘛，關陳大文係大孖還是細孖咩事？
唔通陳大文係大孖或者是細孖就唔係人？？
你畢而「廣義」到要問埋陳大文食咗飯未，去咗廁所未，去完廁所又洗咗手未呀？笨！
神州﹕
刪除同我傾的都可以理解呀﹖尤其是在我提到generalization之後﹐現在只剩下你唔知想嘈乜而已。
至於我後面那個問題﹐便是「A是廣義上的B」的情況下﹐A和B之間的關係。
‧父(B1)+母(B2)+大孖(B3)+細孖(B4)
‧B1﹑B2﹑B3﹑B4可廣義化為人(A)
-----------------------------------
i.e. A+A+A+A=4個(不同的)人
但反過來時﹐當你純粹講出一個廣義化概念的「4個人」時﹐你便不能找出哪個是B1﹑哪個是B2﹑哪個是B3﹑哪個是B4了
這不就是廣義化的基本原理嘛﹖
(1)任何一個B概念的實例也是A概念的實例；並且
(2)A概念的實例並不一定是B概念的實例
你還有甚麼你不明白呀﹐神州小朋友﹖
文少，
刪除maybe using the word particular will make you feel better.
Different may not be such a good word.
1 particular apple+ 1 particular apple + 1 particular apple
= 3 particular apples
It tells you that we haven't specify which particular apple or apples we are talking about and we are talking about different apples.
You can say the 1st apple is A, the 2nd is B etc, or the 1st is D, the 2nd is E etc.
Now you can say apple in everyday language just means particular apple. Since the word particular is understood, we don't even say it.
Then there is no problem with 1 apple + 1 apple + 1 apple = 3 apples or what 50 dead people means. There are different reasons why in newspapers the names of the people are not listed. You may not want the media to print it out if some of the people are your friends and family, or you just may not want to read that . --zpdrmn
你真係問非所答，人地問你有幾多個人，你就無那那講咗去點分果啲係咩人。
刪除果啲係咩人關有幾多個人咩事呀？
佢係大孖又好 細孖又好，甚至佢係單眼抑或陂腳都好，都唔會因為佢係咩人而改變有幾多個人架？
你試下問下啲小朋友佢地屋企有幾多個人，連啲小朋友都答得好過你呀
你錯係錯在 搭-錯-線 呀！
神州﹕
刪除我一直都是在說廣義化和數學應用之間的關係。
即是怎樣由一個特定的事物(如陳大文)簡化成一個廣義化的概念(如一個人)
走入來九唔答八來插嘴的是你﹐
要搭錯線﹐都只有你在搭錯線。
zpdrmn:
刪除如果要用嚴謹的生物學角度來說﹐蘋果在日常用語中是指一個種﹐即是「Malus domestica」﹐不論屬於7500多個品種中的哪一個品種﹐它是蛇果好﹑國光蘋果好﹑還是富士蘋果好﹐我們都會統稱作蘋果﹐更不要說特定的那一個蘋果了。(笑)
所以我才一直說嘛﹐如果我們沒有一些generalized concept﹐數學是無法應用在物理世界的。
文少，
刪除你個人真係好奇怪，咩叫做「走入來」？
呢度除咗王Sir之外，你話邊個唔係「走入來」的？你有買飛入來咩？
問題其實好簡單，我問你：
呢度有幾多個人 同 啲人的樣貌高矮肥瘦等等有咩關係？
係咪高啲就等於1.5個人？矮啲就等於0.5個人？
如果唔係，你係要將兩件無關嘅嘢撈埋來講係咪叫做「黐」咗兩條線？
同樣道理，有幾多個蘋果同果啲蘋果嘅產地顏色大細有咩關係？
係咪美國產嘅先至係蘋果，日本產嘅就唔係？
係咪蘋果一定要係紅色的，其它顏色嘅就唔得？
如果唔係，咁點解你一定要將與個數無關嘅嘢扯上關係？你話你咁係咪叫做「鬼扯」？
你將啲無關嘅嘢扯埋一齊就叫做「廣義化」？叫做多舊魚就啱啲 :)
文少，
刪除//我一直都是在說廣義化和數學應用之間的關係。
即是怎樣由一個特定的事物(如陳大文)簡化成一個廣義化的概念(如一個人)//
你而家唔係「怎樣由一個特定的事物(如陳大文)簡化成一個廣義化的概念(如一個人)」，
而你係啱啱相反，係都要將一個已經Generalized咗嘅「人」去複雜化成一個特定的事物（例如陳大文，或者係蘋果特定產地等等）。
你將Generalized譯為「廣義化」其實並不很貼切，Generalized在這種情況下譯為「一般化」或者「普遍化」似乎比較好。
即是說：「一般」所指的「人」，並不特別（specialize)指一定要什麼膚色或樣貌等等；
「一般」所指的「蘋果」也是一樣，並不特別（specialize)指一定要什麼產地顏色大小等等；
只有這樣Generalized咗之後，不同高矮肥瘦嘅人都係人，都可以相加，可以合起來總共有幾多人。
同樣道理蘋果也是一樣，Generalized咗之後，無分產地顏色都叫做蘋果，然後可以相加，可以計算總共有幾多個蘋果。
呢啲先至係Generalize(一般化）和數學應用之間的關係。
你之前死拗嘅就剛剛係相反。
明未？
文少，
刪除//我們沒有一些 generalized concept...//
The question is: What do you think? Do we have generalized concept built in our language or not? --zpdrmn
zpdrmn:
刪除現在當然有。
但我有興趣的是﹐最初這些generalized concept是怎樣形成的﹐究竟人類是否先懂得用generalization去了解世界﹐然後才產生更為抽象的數學概念呢﹖
文少：
刪除無啦啦你講乜 generalized concept，乜鬼來的？你自創的嗎？有冇 concept 係非 generalized 的？
Yan:
刪除講過啦﹐你問親我﹐我一定答唔知gala
有話就講﹐有屁就放﹐問乜春呢﹖
你的 generalized concept 似乎用來說明數的應用，而我認為作為解釋數的應用這是可疑的東西，你又無講佢係乜鬼，咁咪問下你羅，咁都唔得？ 我可唔可以講因為人有屎忽所以數學才可以應用到現實世界，因為人如果冇屎忽就沒可能有時間坐低思考，就冇可能應用數學？
刪除文少,
刪除//現在當然有。// Others think so and you think so. Then there is no need to argue with them. They are, I think, talking about 現在 but not the history of generalized concepts. --zpdrmn
Yan:
刪除你係咪又講外星話呀﹖
咩鬼叫「用來說明數的應用」﹖
咩鬼叫「作為解釋數的應用這是可疑的東西」﹖
我有幾時又有話「作為解釋數的應用」﹖
你仲話你讀咁多書﹐每一句都唔係一句完整句子﹐語法錯亂﹐你叫我點回應你呀﹖
唯一一句我可以理解的﹐係你下面個問題﹕
你絕對可以話因為人有屎忽所以數學才可以應用到現實世界呀﹖
譬如話話你因為經常用個屎忽諗嘢﹐因此你認為所有人都用屎忽諗嘢﹐你咪可以從生物學角度﹐解釋數學點靠人類用個屎忽諗嘢而誕生囉。
問題係人類係咪個個都好似你咁﹐用個屎忽諗嘢咋嘛﹖
你個論點講落又神奇﹐邊個話人一定要坐低先可以諗到嘢呢﹖
zdprmn:
刪除哈哈﹐我本來就不是在拗﹐而是問哲人王一般人說的「三個蘋果」查實是一個甚麼的概念﹐以及「三個蘋果」的實質內涵是甚麼。
//咩鬼叫「用來說明數的應用」﹖
刪除- 你自己說，沒有 generalized concept，數學就不能應用到現實世界；這就是說明數的應用。(cf. "是故﹐廣義化是數學可以應用到物理世界的前提﹐只有透過廣義化﹐才可以進行分類﹐從而達至同類的相加/相減/相乘/相除。")
//咩鬼叫「作為解釋數的應用這是可疑的東西」﹖
- 作為解釋數的應用的東西，這東西是可疑的。
//我有幾時又有話「作為解釋數的應用」﹖
- 同上。
//你仲話你讀咁多書﹐每一句都唔係一句完整句子﹐語法錯亂﹐你叫我點回應你呀﹖//
- 我不知是我的中文差還是你的差。
/*唯一一句我可以理解的﹐係你下面個問題﹕
你絕對可以話因為人有屎忽所以數學才可以應用到現實世界呀﹖
譬如話話你因為經常用個屎忽諗嘢﹐因此你認為所有人都用屎忽諗嘢﹐你咪可以從生物學角度﹐解釋數學點靠人類用個屎忽諗嘢而誕生囉。問題係人類係咪個個都好似你咁﹐用個屎忽諗嘢咋嘛﹖
你個論點講落又神奇﹐邊個話人一定要坐低先可以諗到嘢呢﹖*/
- 完全同意。咁你個 generalized concept 是什麼，為何又可說明數的應用呢？
Yan﹕
刪除你先看看自己寫甚麼「你的 generalized concept 似乎用來說明數的應用，而我認為作為解釋數的應用這是可疑的東西」
是否中文差﹐你自己PM哲人王或meshi﹐看看他會否覺得你這句有無語病
還有﹐我說的是如何將數學應用到物理世界﹐而不是純粹談「數的應用」。
其次﹐廣義化不是一個東西﹐是一個將事物的定義加以增補或修改的過程。
而原因﹐我是說得很清楚的﹕因為世上每件物件本身﹐都是獨一無二的。
正如你是你﹐我是我﹐你不會是我﹐你+我有如數學代數題的a+b﹐是得不出2a或2b這個結論的。
是故﹐我們便是靠先建立「人」這個廣義化的概念﹐但凡任何生物符合我們所訂下的「人」這個定義﹐都可以撇除其他的個體差異不論(如國籍﹑膚色﹑身高﹑體重)﹐而被廣義上稱作「人」。
在這情況下﹐你是「1個人」﹐我是「1個人」﹐便可相加﹐而得出「兩個(不同的)人」這個結論。
講真﹐其實我不知你在質疑甚麼。
/*你先看看自己寫甚麼「你的 generalized concept 似乎用來說明數的應用，而我認為作為解釋數的應用這是可疑的東西」
刪除是否中文差﹐你自己PM哲人王或meshi﹐看看他會否覺得你這句有無語病*/
- 不用PM，老師們，看到的在這裡說吧。
/*還有﹐我說的是如何將數學應用到物理世界﹐而不是純粹談「數的應用」。*/
- 我是就著你說寫的，想簡單的說，不想寫什麼數學應用到物理世界。
/*其次﹐廣義化不是一個東西﹐是一個將事物的定義加以增補或修改的過程。*/
- 東西英文裡的 thing, 又是廣東話裡的嘢。你係咪話廣義化唔係嘢，咁佢又係啲乜嘢？
/*而原因﹐我是說得很清楚的﹕因為世上每件物件本身﹐都是獨一無二的。
正如你是你﹐我是我﹐你不會是我﹐你+我有如數學代數題的a+b﹐是得不出2a或2b這個結論的。
是故﹐我們便是靠先建立「人」這個廣義化的概念﹐但凡任何生物符合我們所訂下的「人」這個定義﹐都可以撇除其他的個體差異不論(如國籍﹑膚色﹑身高﹑體重)﹐而被廣義上稱作「人」。
在這情況下﹐你是「1個人」﹐我是「1個人」﹐便可相加﹐而得出「兩個(不同的)人」這個結論。
講真﹐其實我不知你在質疑甚麼。*/
- 我不是質疑你的 generalized concept, 只是質疑用這樣嘢解釋應用數學無謂，如果你話因為我們有大腦所以才能抽象思考，才能應用數學，我不會覺得無謂，因這是科學。但你講一大堆東西，我不知這能說明什麼，這不比說因為我們能說話所以我們能應用數學強多少。
Yan:
刪除//我是就著你說寫的，想簡單的說//
有D說話﹐如果你求其點刪走字眼的話﹐會改變原話意思。
//我不是質疑你的 generalized concept, 只是質疑用這樣嘢解釋應用數學無謂//
你初頭可不是這樣說
你是問「乜鬼來的？你自創的嗎？」
至於無不無謂﹐你絕對可以覺得好無謂﹐其實我說的廣義化再進一步便是數字化乃至數碼化﹐沒有數碼化哪有現在的電腦時代﹖
//廣義化再進一步便是數字...電腦時代﹖//
刪除How?
1010 0101是computer 的 generalized concept?
Sorry, 翻舊帖.
刪除我大概理解文少的意思, 但正如Blog主所講, 1+1=2並沒有錯.
其實問題應該在對實體的classification上. 例如, "蘋果"就是一個人為定義的類別. 數字的應用對象應該是抽象類別(蘋果, 人, 男性, etc)而不是個體(eg 個別的蘋果). 這基本上是cardinals的概念, 意即謂如果我有一個finite set S = {A, B, C}, 則Card(S) = 3. Set S 的定義是人為的, A, B, C三個elements可以是實物, 可以是概念, 可以是類, 但不一定要有共通點, 但我依然可以談論這個set S的cardinality.
基於這點, 真正的問題其實不在於這個世界沒有「真正的」1+1=2, 而是這條數式沒有自然的應用對象. 數字是由分類中抽象出來的, 而分類總是人為自然強加的. 宇宙本身沒有先於人類界定事物的分類, 分類是人類創造出來方便談論事物(如同語言), 因為數學的根基出於這種人為任意(arbitrary)的分類, 因此也沒有很強的理由相信數是先於人類發明的實體
我想這可能是文少想表達的意思, 也是我的想法. 和blog主不同, 我的基本哲學立場較接近康德. 數是category, 不是phenomenon也不是noumenon.
既談到logic，那讓我多口拉遠。在網上看見有書的介紹，說到有個logic是這樣的：
回覆刪除所有玫瑰都是花。
有些花很快就凋謝。
所以有些玫瑰很快就凋謝。
眼看覺得很對，但文章說是不對的，但沒多加解釋，故想求問於各位。
如果這推論對，那以下是不可能的：
刪除https://docs.google.com/drawings/pub?id=1_jy8ErOxEqiNNjLgHR4ULXj83nWWL51uoo-Ng-84YmM&w=960&h=720
但以上的可能的，所以該推論不對。
我直接講出 你應該會易明點 “有些花”不一定為玫瑰花 否則是倒果為因 女人是婆婆 之子
刪除比較：
刪除所有男人都是人。
有些人會懷孕。
所以有些男人會懷孕。
What does philosophy of math even mean? Modern math seems to go so far away from things like "What are numbers" (which admittedly seems uninteresting to me - just a subjective opinion from an outsider, please don't be offended) Questions like "What is a space?" "What is a structure?" "What is cohomology?" seems more interesting.
回覆刪除Philosophy of Mathematics
刪除數便是符合了數的公理的東西吧...(例如，我們常說的數字便是可以有加減乘除的東西)...我可以說桌子是數(因它們符合我的條件...如1張桌子加1張桌子是2張桌子),但不可以說雲是數(因為1舊雲加1舊雲可以只是1舊雲...)我想，數學重視的是不同的條件下會產生什麼的限制...討論的是規律本身，而不是符合規律的物件是什麼...當然也會說符合前設的物件會有什麼樣的限制...(例如一堆桌子符合加法原則，那1張桌子加1張桌子便是2張桌子...)...小小愚見^^"
回覆刪除看過Mark Balaguer有關數學知識的文章，寫得真的很不錯，但記得他對數學的abstract entities是否存在是以不知論自居，認為存在與否機會均等，也不太影響我們如何了解數學。以王sir所知，他對abstract entities如何存在有沒有一套說法？
回覆刪除他在第一本書裏的立場傾向中立，但從我最近和他的討論看，他現在是不接受有 abstract entities。
刪除"It wouldn’t be too wrong to say philosophy of science in the twentieth century is mostly Bertrand Russell" How about Kuhn and Popper??? He must have at least heard of them before, I hope??
回覆刪除Who knows?
刪除計算文明，共5集 http://mytv.tvb.com/lifestyle/mathandriseofcivilization/138721#page-1
回覆刪除對數學哲學有些見解，可一看，我從第5集往前看的。
只要文明一日存在，數學都會是重要一條支柱。
Thanks.
刪除