你憑甚麼肯定？

早陣子在 YouTube 看到一條教育短片，只約六分鐘長，題目是 "Are you sure? : Why your intuition might be faultier than you think"，講的是為何直覺判斷未必可靠。看不到半分鐘，我便想起柏克萊加大研究院的同學兼好友 Jonathan Ellis（現於 UC Santa Cruz 哲學系任教），因為短片用的主要例子極有趣，而我幾年前第一次細心思考這個例子，正是由於 Jon 提出來與我討論，到現在我還記得自己當時對這個例子的反應。更妙的是，個多月前跟 Jon 再見面，我提到上述短片，他竟說片中做旁白的是他，內容也是他寫的！ Jon 沒有因為我認不出他的聲音而說甚麼，接著興高采烈地描述他的很多學生和朋友第一次聽到這個例子時的反應。

不如我也試試這裏的讀者會有甚麼反應。這個有趣的例子以問題方式提出，以下我先寫出問題，然後給讀者幾個選擇。例子涉及長度的量度，用的單位是呎吋，我保持原汁原味，不改做十進制了：

假設地球是一個完全圓的球體，現在用一條很長很長的繩索於赤道 —— 地球的圓周 —— 上圍綑地球一周，而繩索緊貼地面（現實上當然做不到，這只是個思想實驗）。接著，將這條很長很長的繩索剪斷，加上3 呎長的同樣繩索，然後縫合；這樣，原本的繩索便長了 3 呎。現在想像繩索仍然圍繞赤道形成一個完全的圓形（當然也是現實上做不到的）；由於繩索加長了，便應該不再和之前一樣緊貼地面。問題：繩索距離地面有多遠？

我給大家三個選擇：(I) 繩索和地面的距離小到肉眼不能看見；(II) 繩索距離地面約 0.57 吋；(III) 繩索距離地面約 5.7 吋。

相信絕大部份人都認為正確答案是 (I) ，而且十分肯定。可是，如果要求他們解釋為甚麼認為 (I) 才對，他們都只會說「很明顯是 (I)」或「難以想像不是 (I)」（或類似的說法）；這顯示他們的判斷只是基於直覺，並且是很強的直覺。也許有讀者會 second-guess，於是選 (II) 這個「不太離譜」的答案。然而，正確答案是 (III)。如果你心裏立即說「不可能！」（或「我不信！」、「怎麼會？」、「一定是你弄錯了！」等等），你的反應和 Jon 的學生和朋友（以及當年的我）的反應一樣 —— 由於我們有很強的直覺判斷，因此十分肯定正確答案不是 (III) 。這個例子可以說明甚麼呢？就是無論我們的直覺判斷多麼強，始終只是基於直覺，不一定有恰當的理由支持，因此那判斷仍然可能是大錯特錯的。

要證明 (III) 是正確答案，只需要很簡單的數學，就是我們在小學時已學過的圓周計算法：圓周 = 直徑 · π。

讓 C 代表地球的圓周，D 代表地球的直徑，那麼 C = D · π，由此得出 D = C /π。假如 C 用吋做單位，繩索加長 3 呎後的新圓周就是 C + 36。用 N 代表這個新圓周的直徑，那麼 C + 36 = N · π，由此得出 N = (C + 36) /π。 繩索和地面的距離是 (N–D) / 2。無論 C 和 D 是多大的數字，只要 C 加的是 36，N–D 一定是 36 /π，即 11.46。因此，(N–D) / 2 = 5.73。繩索距離地面約 5.7 吋。

不知道是誰首先提出這個有趣的例子，但這個例子得到一些哲學家注意，主要是由於維根斯坦用過它來說明甚麼是 "being misled by a picture"（見 Norman Malcolm, Ludwig Wittgenstein: A Memoir, p.46）。這個例子裏的 picture 就是：3 呎長那截繩索比起圍繞地球一周那條極長的繩索，簡直微不足道。這 picture 本身沒錯，不但沒錯，還很明顯是對的；可是，我們因為接受這 picture，而判斷那截繩索對於整條長繩索而言，不會在任何方面造成並非微不足道的影響，那就是 misled by the picture 了。（有興趣看上述那條短片的讀者，可以用這連結：https://www.youtube.com/watch?v=gigEFym_iM4）

最後，讓我舉另一個有趣的例子，再測試一次大家的直覺判斷。也是一個問題，三個選擇。問題是：有 15 本書，要排列在書架上（正常的排列，書脊向外），共有多少個不同的排列方法？三個選擇：(i) 約 130 個排法；(ii) 約 1,300,000 個排法；(iii) 約 1,300,000,000,000 個排法。

你是不是選 (i)？ 這次恐怕連第二個選擇也太離譜了，15 本書怎可能有超過一百萬個排法？所以連 second-guess 也不能選它。可是，正確答案是「更離譜」的 (iii) ——  15 本書有超過一萬三千億個排法，準確的數目是 1,307,674,368,000。你可能不信我，甚至肯定我弄錯了。但你憑甚麼肯定？

（原載於《蘋果日報》2020年1月25日）