20111024

另一個出人意表的數字

曾在一篇文章舉過一個很多人都會感到意外的數學例子,就是十五本書有 1,307,674,368,000 個排列方法,早兩天在 Berkeley 時,聽到另一個例子,據說是維根斯坦教書時喜歡用的,也是一個十分出人意表的數字。

我先寫出問題,大家想一想,才往下看答案,那意外的感覺可能會更強(除非你早已知道答案)。原裝例子用呎吋做單位,以下我會保持,不改做十進制了:

假設地球是一個完全圓的球體,在赤道 --- 地球的圓周 --- 上有一條幼繩圍綑地球一周(幼繩緊貼地面)。現在將這條幼繩加長 3 呎,讓我們想像它仍然圍繞赤道形成一個完全的圓形;由於幼繩加長了,便不再和之前一樣緊貼地面,那麼,幼繩距離地面有多遠?

3 呎,相對於地球的圓周,真是微不足道,因此,很多人都會認為即使幼繩現在不會跟加長之前那麼緊貼地面,那分別應該是小得難以量度,更不用說肉眼能夠辨別了。然而,正確的答案是「幼繩距離地面大約 5.7 吋」!

其實,這是很簡單的數學。我們在小學時已學過:

圓周 = 直徑 x p

 "C" 代表地球的圓周,"D" 代表地球的直徑,那麼:

C = D x p

p

假如 C 用吋做單位,幼繩加長 3 呎就是:

C + 36

 "N" 代表這個新圓周的直徑,那麼:

C + 36 = N x p

因此:

N = (C + 36) / p

幼繩和地面的距離是:

(N – D) / 2

無論 C D 是多大的數字,只要 C 加的是 36N – D 一定是 11.46(即 36 / p,因此:

(N – D) / 2 = 5.73

38 則留言:

  1. 通常知道呢類問題的答案後會覺得自己好蠢><...

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  2. 數字愚弄人比較成功的例子或者是六合彩了,小小六個數字,以為會有機會發橫財,其實機會只有過千萬分之一,幾乎為零,但也人人都不惜「受騙上當」。

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  3. 神奇神奇!好快計完,但諗左好耐,諗黎諗去都覺無理由,又懷疑自己計錯數,對一對又係計0岩.到宜家都覺得難以置信...

    2*3.14*(地球半徑) + 36吋 = 2*3.14*(地球半徑+y)
    36吋 = 2*3.14y
    y = 5.73吋

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  4. 跑400米時,跑外圈和跑內圈的起跑點己經有明顯分別.如果繞地球跑時,跑外圈的人只需比跑內圈的人走前3呎起步,都係令人覺得不可思議.

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  5. Ah, this problem.
    To see how people may be surprised by the answer, let me rewrite it this way, using my notations.
    r1 and c1: radius and circumference, in inches, of circle 1 (The Earth in the example.)
    r2 and c2: radius and circumference of circle 2.
    Now c2=c1+36.

    Consider the ratio r2:r1, or r2/r1, it is the same as the ratio c2:c1 or c2/c1.

    r2/r1= c2/c1= (c1+36)/c1= 1+ 36/c1.
    It is true that the bigger c1 is, the smaller 36/c1.
    That may trick people into thinking that r2-r1 should be very small when r1 is very large, because we tend to see it as some ratio (or something like that in our mind).
    But r2-r1 isn't some ratio r2/r1 or c2/c1 or something related.

    A ratio (worth to consider) with r2-r1 in it is (c2-c1):(r2-r1).
    That is, of course, the constant 2*pi. (Same as c2/r2)
    2*pi= (c2-c1):(r2-r1).
    Or r2-r1=(c2-c1)/(2*pi)=36/(2*pi), like what Wong has pointed out.

    Alternatively, from the above expression of r2/r1,
    r2/r1= 1+ 36/c1= 1 + 36/(2*pi*r1),
    we have r2= r1+ 18/pi, or r2-r1=18/pi.

    Should we call this trap the ratio mind trap? --zpdrmn

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  6. Wong,
    Hope you don't mind my trying to explain the problem and make (hopefully) the mystery go away. --zpdrmn

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  7. 有趣.
    想來三尺對地球的圓周而言微不足道, 五寸多對地球的直徑也是小得可憐.

    如果把繞乒乓球一周, 甚至是魚蛋一周的線加長三尺, 大概可以繞多不少的圈(十餘個?).
    得出的新直徑也同樣比舊直徑多五寸多.
    相對好像不是太叫人驚訝.

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  8. Phoebe,

    //通常知道呢類問題的答案後會覺得自己好蠢><...//

    - 絕大部份人都會估錯這題呀!這只顯示我們的直覺不可靠,不是智力高低的問題。

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  9. 神洲,

    //數字愚弄人比較成功的例子或者是六合彩了,小小六個數字,以為會有機會發橫財,其實機會只有過千萬分之一,幾乎為零,但也人人都不惜「受騙上當」。//

    - 有很多人認為用些少錢買個希望是化算的。

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  10. 糖坊,

    //神奇神奇!好快計完,但諗左好耐,諗黎諗去都覺無理由,又懷疑自己計錯數,對一對又係計0岩.到宜家都覺得難以置信...//

    - 我明白你的感覺,因為答案實在太 counterintuitive。

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  11. zpdrmn,

    //Hope you don't mind my trying to explain the problem and make (hopefully) the mystery go away.//

    - Not at all. However, I think people's may still find the case puzzling even after your explanation.

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  12. 蝮,

    //如果把繞乒乓球一周, 甚至是魚蛋一周的線加長三尺, 大概可以繞多不少的圈(十餘個?).
    得出的新直徑也同樣比舊直徑多五寸多.
    相對好像不是太叫人驚訝.//

    - 也有點出奇,當然不及地球那例子。

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  13. //這只顯示我們的直覺不可靠,不是智力高低的問題。 //
    That's why even though scientists and mathematicians do use their intuition at times, they don't trust it. They will do the calculations, proof or disproves theories or conjectures, or do experiments to verify theories. They don't trust their senses too, or they know the limitations. So, they invent instrument to help them. --zpdrmn

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  14. Wong,

    //I think people's may still find the case puzzling even after your explanation.//
    I know. But I tried. I should have done a better job. (Should have used more English and less math?) But I wrote too long already. --zpdrmn

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  15. 只可惜人類很多時候都會依直覺作決定。
    始終要驗證一個問題實在太花心力,時間。
    就如這個地球例子, 要切實計算再作回答其實不難, 但恐怕沒有多少人(包括我)會去算完再回答。

    又, 如果人類不相信直覺, 根本賭博業就不會存在, 因為事實上如果算過, 理性的人便不會花錢(或長期花錢)在必輸的賭博上。

    但歷史已經證明, 也會繼續證明, 人類並不完全理性。

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  16. 蝮 ,
    //如果人類不相信直覺, 根本賭博業就不會存在, 因為事實上如果算過, 理性的人便不會花錢(或長期花錢)在必輸的賭博上。

    但歷史已經證明, 也會繼續證明, 人類並不完全理性。 //
    Right. Economists have also found that people who invest (or speculate) aren't very 理性 and they make many missteps because of that. I'm one of those investors even though I don't gamble (Yes, I look at the math and I think I'm 理性。 Obviously, I'm not good enough.) So, what can I say? I'm stupid! Let say, we do away gambling. What about investments? --zpdrmn

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  17. 作為一個又會愚蠢地"投資", 又會賭博的人, 你的問題有點太難答…

    但說實在的, 在"偉大的市場"中, 一般投資者能從公開的渠道拿到手的資料其實也不少, 但有多少會在買股票前仔細看該公司的年報?
    又有多少人會去細讀傳說中的fed的公告?
    不知有多少人"買東西"都只因為看了讀了聽了那些黃大仙-to-be的所謂分析, 或是因為聽了有"消息"。

    只是, 金融巿場本身已經是充滿投機, 一切都跟所謂"市場預期"有關, 所以縱是熟讀資料, 也會因價格"脫離基本因素"而被殺過血流成河。
    但其實實質經濟還不又是與預期相關?
    所以我想要在短期內在市場中賺錢, 卻不如"過大海"去會一會(只是一局)何生(或是如今的美姿資大孖沙)。
    在長期, 可能還能跟隨企業營利增長而賺錢。

    又, 我不是金融業界的, 這只是我的看法。
    有興趣的話, 可看黃子華的數字降與近期的奪命金中劉青雲買期指的方法, 還蠻好笑的。

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  18. 讓我講一個故事:

    話說從前有位統計學教授, 為了讓學生明白股票市場實際上是什麼一回事, 就吩咐學生做一個「功課」。
    此「功課」的做法, 是假設有一隻「虛擬股票」, 在開始時, 價格100, 然後學生拿一個銀仔, 擲到公, 股票升一元, 擲到字, 則跌一元。如是者, 重覆n次之後, 將「股價」畫成一幅圖。
    結果如何呢, 每個學生的圖, 看上去都與報紙登出的股票圖一樣。
    各位有興趣的話, 可用 excel 之類的軟件畫一幅, 頗有趣的。

    此故事還有下文: 這位教授後來將其中一份「功課」, 拿去給一位講股佬分析。講股佬看完圖, 講了一大堆什麼「陰陽燭」、「平均線」之後, 認為這「股票」前境看好, 值得買入云云。
    但當然, 根據「功課」的設定, 此「股票」長線一定是打和。

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  19. 這些所謂的"技術分析", 都是號稱能在短線中能幫人找出機會的.
    詳細我也不太懂, 但如果想一想, 有很多都能總結成一句話.

    如, 所謂的甚麼十天平均線超了二十天的, 二十天的超了五十天的, 什麼什麼黃金交差, 死亡交差等平均線的, 其實是甚麼意思?
    想想, 十天平均超了二十天平均, 說的其實就是近期價錢向上了不是?
    什麼跌破二百五十天線, 就是近期跌得兇不是?
    至於什麼大陽燭, 大陰燭, 還不就是說在那時期內升得厲害或跌得厲害?
    所以總結起來, 有很多都其實只是說"寧買當頭起"而已, 與曹某的C類似.

    但如果這些東西真的那麼準, 那香港的散戶們就不會經常損手爛腳了.
    又, 那些黃大仙-to-be如果真的有什麼真知灼見, 那價值可高了, 又豈會在電視或報章電台那一小筆出鏡費/稿費的利誘下告訴這麼多人?

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  20. 蝮,

    //但如果這些東西真的那麼準, 那香港的散戶們就不會經常損手爛腳了.又, 那些黃大仙-to-be如果真的有什麼真知灼見, 那價值可高了, 又豈會在電視或報章電台那一小筆出鏡費/稿費的利誘下告訴這麼多人?//

    - 對,很簡單的道理,但就是那麼多人看不通。

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  21. 其實買股票長線賺錢不難, 散戶損手爛腳, 是投資不得其法而已。
    外國亦曾有學者研究過講股佬的預言, 結果是什麼大麾高盛, 名牌分析員之類, 只是講中一半半, 換言之, 他們從未提供過有用的資訊。
    (按: 若講股佬好似當年「桂神」一般, 每講必錯, 則同樣是「有用」, 唯有中一半, 郤全無用處)
    也有人試過用「掟飛鏢」方式選擇股票投資, 結果業績與「專業」基金相若, 而且不必付管理費。

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  22. 楚門,

    //其實買股票長線賺錢不難, 散戶損手爛腳, 是投資不得其法而已。
    外國亦曾有學者研究過講股佬的預言, 結果是什麼大麾高盛, 名牌分析員之類, 只是講中一半半, 換言之, 他們從未提供過有用的資訊。//

    - 相關文章:Can Monkeys Pick Stocks Better than Experts?

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  23. 又令我想起奪命金中盧海鵬對何韻詩談基金的那一段。

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  24. So many responses. Yes, yes. 有早知, 無乞兒. I learned something about modern financial theory. (Some Nobel Prize winners in Economics are behind this.) I can tell you that it doesn't work in the face of the near financial meltdown because of the mortgage crisis (in the US). The problem: future estimate is based on some average return in the past. How can it work? If those big economists use such stupid assumption and do not heed the saying 有早知, 無乞兒, maybe I am not so stupid after all. --zpdrmn

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  25. 蝮,
    //作為一個又會愚蠢地"投資", 又會賭博的人,//
    I am a person who 愚蠢地"投資" but I don't 賭博, except in investments, of course, --zpdrmn

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  26. 我雖有唸過一些經濟學, 但由於數學不佳的關係, 沒有唸得很深入, 更別說諾貝爾獎學者級。
    但印象中每一個模型都有一大堆假設, 所以每一個結果都是基於那些假設得出來。
    而現實世界中有幾時這些假設會同時成立?
    想來差不多每一個理論都有其他學者持反對意見, 除了一個: 人們的經濟決定是基於對明天的預期。
    人心難測亦常變, 如果是真的這樣的話, 那他們的決定還真的難預計得很。

    其實天下萬事抬不過一個理字去, 當年這麼多人去加按樓房來消費, 最終自然出現爆破後遺症。
    當年搞福利國家搞得如此過癮, 今日自然債台高築。
    只是如果還是跟住老黃曆辦事, 以為減利率就能促進本國投資消費, 難免政策沒用。
    始終如今不再是三十世代大蕭條時代…

    又, 你把投資當賭博麼?
    否則除了二字從何而來。
    我倒承認, 我的投資心態與賭博相似, 所以總是輸多贏少。

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  27. 蝮,

    盧海鵬一段對白, 我亦十分認同, 編劇確實做足功課。
    《奪命金》的結局, 是「有心栽花花不發, 無心插柳柳成蔭」, 可能杜琪峯也知道「隨機漫步」理論。

    經濟理論的「假設」不真實, 並不一定等於結論錯誤。
    自然科學亦有類似例子, 統計力學的理論, 就是由「氣體粒子完全彈性碰撞」的假設推論出來。

    Wong,

    也有另一說法, 認為芬佬其實多數都是真的專家, 只不過市場上太多專家互相對抗, 結果是無人能贏, 大家都只能賺到平均數。
    此說雖也有理, 不過那些「技術分析」, 始終難以令人信服, 但媒體郤大量引用, 令人無奈。

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  28. 蝮,
    //由於數學不佳的關係, 沒有唸得很深入//
    that's not a problem. Read the writings of economists who don't use math much, like 張五常's.

    //而現實世界中有幾時這些假設會同時成立//
    Yes, I understand that. But the theory I talked about has been used in 現實世界. Index funds is a product of such theory.

    //你把投資當賭博麼?//
    I mean, I sometimes act like gambling when I do certain investments.
    Now, I don't it as much. I lot of my wife's and my money is in bonds and we plan to hold them to maturity. --zpdrmn

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  29. 楚門,

    這部電影其實頗多對金融體制的諷刺, 同時用很有趣的方式來表達, 很趕"佔領XXX"的潮流.

    經濟學理論假設不真實, 當然也可以結論正確, 但在這情況下的結論與整個理論有多少關係乃至於理論的正確性也就難說.

    又, 我不太懂你所提到的專家相爭以至賺得平均數的方法.
    但普通憶測起來似乎是有假設專家們有一樣的資本?

    又又, 我的物理更差...

    zpdrmn,

    其實另一個重要原因是我懶...做成不學無術的結果...

    而我也不是完全不認同所有的經濟理論, 只是有點懷疑一些經濟理論對現實社會的實質用處.
    就如以往人們說股票藍籌在長線(數十年)有最好的投資回報(不知這是否算經濟理論).
    也聽說香港也有不少較年長的人買了五號仔而如今身家豐厚.
    但我覺得在得出這結論的同時應記得過去數十年西方乃至香港國家是經歷了戰後數十年的經濟高增長時期.
    除非有人認為這些國家的藍籌企業在未來數十年能經歷同樣的增長(我覺得機會極微), 否則股票監籌(起碼在歐美主要股票市場的)是否長線最佳投資頗成問題.
    這很大程度是來這些公司對"新興市場"這些大陣的投入度以及成功與否.

    又, 債劵怕通脹...如果是美元債劵的話, 到期時實質回報有多少就真是天曉得...
    歐元債劵就是祝君好運.
    人債就...

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  30. 蝮 ,
    //股票藍籌在長線(數十年)有最好的投資回報(不知這是否算經濟理論).//
    If you are talking about stocks of a basket of many blue chip companies, I would say so, yes. It is like an index funds. (I mentioned index funds last time.) The theory I talked about "applies" here.

    //除非有人認為這些國家的藍籌企業在未來數十年能經歷同樣的增長(我覺得機會極微), 否則股票監籌(起碼在歐美主要股票市場的)是否長線最佳投資頗成問題.//
    That's the problem of using past average return to estimate or forecast future return I talked about when I discussed the theory. You nail it. In the future, things may change. 同樣的增長 may not be there anymore.
    See! You know economics more than you think you know.

    //債劵怕通脹...如果是美元債劵的話, 到期時實質回報有多少就真是天曉得...//
    I hold individual corporate bonds and a little sovereignty bonds, not bond funds. I have control over the time of sale.
    Some US corporate bonds, in my opinion, can be good investments. (Considering inflation, risks vs return.) The bond market in the US is very big and mature. I've never touched US treasury bonds and notes (for the problem you mentioned) and municipal bonds (for now, many are risky).
    HK: If I need to find something good in HK's bond market, I am doomed. One day I may do it. Sigh.
    歐債 for now is like gambling. Maybe it's because I don't know much about it.

    //人債就...//
    Do you mean bonds in RMB or personal loan?
    I don't have any, whatever you mean. --zpdrmn

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  31. 蝮,

    //這部電影其實頗多對金融體制的諷刺, 同時用很有趣的方式來表達, 很趕"佔領XXX"的潮流.//

    我到戲院買票時, 排了長龍, 不過似乎多數人都是幫襯《那些年》。《奪命金》應多數係我等中坑捧場。

    //經濟學理論假設不真實, 當然也可以結論正確, 但在這情況下的結論與整個理論有多少關係乃至於理論的正確性也就難說.//

    可以這樣看: 經濟理論是一種數學模型, 模型不可能百分百與現實一樣, 當中必有部份簡化。
    「理性經濟人」就是一種簡化, 可以說是假設多數人在處理經濟問題時, 都懂得計算利益。
    若「假設」不太離譜的話, 理論多少會有些預測作用。

    不過話說回來, 由於種種原因(例如不能做實驗), 要將經濟理論與事實驗證, 也頗困難, 有一些爭論, 就是由此而來。

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  32. zpdrmn,

    對, 我所說的大概即是你說的指數基金.
    我們對此意見大致相同.

    確實, 美國債券市場遠比香港成熟得多.
    我想在香港, 如果企業要集資, 一是向銀行貸款, 一是在股票市場集資(很多時被人稱為抽水).
    事實上, 香港這個"國際金融中心"除了股票以及所謂的衍生品市場(即所謂認股證, 牛熊證之類), 其他的金融產品都很缺乏.
    早幾年我眼見油價不斷升, 曾經想傻傻的想看看石油相關的東西.
    見了那些網站什麼的, 才發現香港是沒得買的.
    問了一些從事金融界的朋友, 方知道原來香港是沒有這些東西.
    金倒還有, 油則全無.
    買賣石油相關的, 只有買石油相關的企業股票, 尤以內地的幾大企為甚.
    但這些企業的業務包括上下游, 不太與原油走勢直接相關.
    要不就是在香港買美國上市的東西, 這又很麻煩(我這些小人物還不會去買美市).
    從那時發現香港沒有商品交易.
    最近兩年, 好像是今年早些, 終於有所謂商品交易所, 如今不知如何, 但那時的新聞好像說交易所需的金額很大, 不是散戶所能碰的.

    我說的人債是人民幣債券, 這幾年在香港蠻流行.
    由於息差關係, 也有很多人用螞蟻搬家的形式在內地去做定期存款.
    中國財政部國債, 雖然利息不高, 但每次在港推出都是搶購一空.
    當然, 人民幣如今還有外匯管制, 要小心...

    楚門,

    我身邊的朋友也多稱讚"那些年".
    但我作為杜Sir的支持者(雖說也不是每一部都有看過), 當然首選"奪命金".
    他的黑色幽默(可以這樣說吧), 很少會叫我失望.

    //不過話說回來, 由於種種原因(例如不能做實驗), 要將經濟理論與事實驗證, 也頗困難, 有一些爭論, 就是由此而來。//

    這與吾友文少經常大力批評"社會科學"的原因相似.
    我則當然不是完全否定經濟學理論.
    起碼供求定律我是十分認同.

    又, 這些討論好像被我越扯越遠離原本題目, 快到姥姥家了(笑).

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  33. 蝮,
    I'm also a 小人物. It's just that I'm in the US. Investing in US stocks and bonds is more like a convenience to me. Also, inflation in the US is not as bad as that in HK, so bonds can be a good choice.

    //其他的金融產品都很缺乏//
    I know. That's the biggest thing I don't get about HK as one of largest financial centers in the world.

    I know HK's commodity market sucks. Buy I didn't know that it is so bad. No oil commodities?
    --zpdrmn

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  34. 楚門, 蝮, and others,
    //...否定經濟學理論...//
    I may give an impression that I don't buy the theory
    I've talked about. I just point out the potential danger if one is not careful with the assumption and apply the theory in investments.
    The theory (before developing it for index funds) is about optimization. One can apply it in investments if he is careful with the assumption, understands estimate/forecast is just estimate/forecast, and makes adjustments when things (rates of return, risk levels, one's own tolerance of risks) have changed. But then that is too much work for me.

    楚門,
    //其實買股票長線賺錢不難//
    Yes. I agree. But timing can be tricky. Let's say, an American invests in US stocks for the long run. He has been putting money in stocks for 12 years. Then the market goes down sharply (for example, near financial meltdown due to mortgage crisis,) wiping out the returns of many years. Now he is going to retire in 2 months. Maybe he has lost some or gained some. Even if he has gained some, he may be very worried. He needs to take some money out in his retirement and doesn't have the luxury letting all the money wait until the market goes back up. That affects his retirement finance.

    If he had invested in individual US corporate bonds (not bond funds) for all those years, he would have done much better.

    I think this is my last response here. Thanks.
    --zpdrmn

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  35. zpdrmn,

    明白.
    只是我在香港, 美國的企業我沒有太多認識(品牌認識一些, 業務狀況卻不清楚.
    確實, 就算是走長線某些時侯也要有調整策略的需要, 不能一本通書看到尾.

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